背包问题

01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

二维数组

动规五部曲:

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i] [j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2. 确定递推公式

   有两个方向推出来dp[i] [j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1] [j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i] [j]就是dp[i - 1] [j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1] [j - weight[i]]推出，dp[i - 1] [j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0] [j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0] [j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0] [j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

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for(int j = 0; j < weight[0]; j++){
    dp[0][j] = 0;
}
//正序遍历
for(int j = weight[0]; j <= bagweight; j++){
    dp[0][j] = weight[0];
}

dp[0] [j] 和 dp[i] [0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i] [j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

4. 确定遍历顺序

先遍历物品更好理解

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// weight数组的大小 就是物品的个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++){//遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++){//遍历背包容量
        if(j < weight[i]){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }else{
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
      
    }
}

先遍历背包，再遍历物品

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//weight数组的大小就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++){//遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++){//遍历物品
        if(j < weight[i]){
            dp[i][j] = dp[i -1][j];
        }else{
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
        
    }
    
}

5. 举例遍历

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   public static void main(String[] args){ int[] weight = {1, 3, 4}; int[] value = {15, 20, 30}; int bagsize = 4; testweightbagproblem(weight, value, bagsize); } public static void testweightbagproblem(int[] weight, int[] value, int bagsize){ int wlen = weight.length, value0 = 0; //定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时， 前i个物品能获得的最大价值 int[][] dp = new int[wlen + 1][bagsize + 1]; //初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0 for(int i = 0; i <= wlen; i++){ dp[i][0] = value0; } //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量 for(int i = 1; i <= wlen; i++){ for(int j = 1; j <= bagsize; j++){ if(j > weight[i - 1]){ dp[i][j] = dp[i - 1][j]; }else{ dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]) } } } for (int i = 0; i <= wlen; i++){ for (int j = 0; j <= bagsize; j++){ System.out.print(dp[i][j] + " "); } System.out.print("\n"); } }

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func test_2_wei_bag_problem1(weight, value []int, bagweight int) int {
	// 定义dp数组
	dp := make([][]int, len(weight))
	for i, _ := range dp {
		dp[i] = make([]int, bagweight+1)
	}
	// 初始化
	for j := bagweight; j >= weight[0]; j-- {
		dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0]
	}
	// 递推公式
	for i := 1; i < len(weight); i++ {
		//正序,也可以倒序
		for  j := weight[i];j<= bagweight ; j++ {
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
		}		
	}
	return dp[len(weight)-1][bagweight]
}

func max(a,b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func main() {
	weight := []int{1,3,4}
	value := []int{15,20,30}
	test_2_wei_bag_problem1(weight,value,4)
}

一维滚动数组

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public static void main(String[] args){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    testWeightBagProblem(weight, value, bagWeight);
}
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int[] bagWeight){
    int n = weight.length;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++){
        System.out.print(dp[j] + " ");
    }
}

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

• 完全背包和01背包的区别是，前者的物品是无限的，并且两者的遍历顺序是不同的
• 在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序无强制规定

Java代码

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for(int i = 0; i < weight.size(); i++){
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

Go代码

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for i := 0; i < len(weight); i++{
    for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++{
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    }
}

func max(a, b int) int{
    if a > b{
        return a
    }
    return b
}